Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un refinamiento del método de Euler. Usa para cada paso, varios pasos intermedios que ayudan a disminuir el error. El método que veremos será el de cuarto orden, que fue el que se usó para los cálculos.

En este caso consideraremos un sistema de una ecuación diferencial, para $N$ ecuaciones, simplemente se aplica a cada una lo mismo, y se considera en el argumento de la función diferencial, a todas ellas.

Sea la ecuacón diferncial

$$\dot{y}=f(y(t), t)$$ (23)

Considerando igualmente un paso $\Delta t$ se podrá hacer el cálculo del valor de $y(t+\Delta t)$ con los siguientes pasos:

$$\begin{eqnarray*} k_1 &=& \Delta t \, f(y(t), t) \\ k_2 &=& \Delta t \, f(y(t)+... ...ac{\Delta t}{2}) \\ k_4 &=& \Delta t \, f(y(t)+k_3, t+\Delta t) \end{eqnarray*}$$

$$y(t+\Delta t)=y(t)+\frac{k_1}{6}+\frac{k_2}{3}+\frac{k_3}{3}+\frac{k_4}{6}+O(\Delta t^5)$$ (24)

De esta forma se obtiene un valor con una mejor aproximacion, de tal forma que el error acumulado con las sucesivas iteraciones para calcular el valor de la función a lo largo del tiempo disminuye respecto al método de Euler.

Además se puede hacer que controle el tamaño del paso calculando el error en cada paso, y exigiendo que no se exceda ese error, se puede aumentar o disminuir ese paso, haciendo de Runge-Kutta, un método muy eficiente para la resolución de ecuaciones diferenciales.