Formalismo General del Problema de los Tres Cuerpos

Se pueden plantear las ecuaciones diferenciales que describen a este sistema a partir de la definición de fuerza gravitatoria o del hamiltoniano que lo describe. Para definir el hamiltoniano correspondiente, consideremos tres cuerpos de masas $m_1$, $m_2$ y $m_3$ cuyas distancias relativas son $r_{2 3}$, $r_{3 1}$ y $r_{1 2}$. Sean las posiciones de las masas los vectores $\left(q_1, q_2, q_3\right)$, $\left(q_4, q_5, q_6\right)$ y $\left(q_7, q_8, q_9\right)$. Entonces la energía cinética del sistema será:

$$T = \frac{\mbox{\small 1}}{\mbox{\small 2}} m_1 \left(\dot{q... ...small 2}} m_3 \left(\dot{q}_7^2+\dot{q}_8^2+\dot{q}_9^2\right)$$ (1)

y considerando que la fuerza de atracción entre $m_1$ y $m_2$ es $\mathrm{G} m_1 m_2 r_{1 2}^{-2}$, donde $\mathrm{G}$ es la constante de gravitación universal, entonces el potencial que le corresponde es $-\mathrm{G} m_1 m_2 r_{1 2}^{-1}$. Así pues tendremos la siguiente energía potencial para el sistema:

$$V = -\mathrm{G}\frac{m_2 m_3}{r_{2 3}} -\mathrm{G}\frac{m_3 m_1}{r_{3 1}} -\mathrm{G}\frac{m_1 m_2}{r_{1 2}}$$ (2)

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento del sistema serán:

$$m_k \ddot{q}_r = - \frac{\partial V}{\partial q_r} \;\;\;\; \left(r = 1,2,\ldots,9\right)$$ (3)

donde $k$ es la parte entera de $\left(r+2\right)/3$. Este sistema tiene 9 ecuaciones de segundo orden, teniendo un orden total de 18.

Definiendo el momento como $p_r = m_k \dot{q}_r$ podemos escribir el hamiltoniano de la siguiente forma:

$$\mathcal{H}=\sum_{r=1}^{9}\frac{p_r^2}{2m_k}+V$$ (4)

con lo que tendríamos las siguientes ecuaciones para describir al sistema:

$$\dot{q}_r = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_r}, \;\;\;\; \dot{p}_r = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_r}$$ (5)

Como se puede apreciar, estas 18 ecuaciones diferenciales no forman un sistema muy sencillo de resolver algebraicamente, es más, no se pueden resolver en forma general para cualquier condición inicial, dándonos la posibilidad de tener un caso en el cual sea sensible el sistema a condiciones iniciales, lo cual significaría que constituyen un sistema caótico.