Reducción del sistema

Lagrange mostró que el sistema planteado (eq. 5) se puede reducir de orden 18 a orden 6, con las siguientes consideraciones.

Como no hay fuerzas externas, podemos decir que el momento total será una constante del movimiento, y además se van a mover su centro de masa en línea recta; este hecho se puede expresar con las siguientes 6 integrales del movimiento:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} p_1+p_4+p_7 & = & a_1 \\ p_2+p_5+p_8 & = & a_2 \\ p_3+p_6+p_9 & = & a_3 \end{array}\right.$$ (6)

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m_1 q_1 + m_2 q_4 + m_3 q_7 - \le... ...9 - \left(p_3+p_6+p_9\right) t & = & a_6 \end{array}\right. %}$$ (7)

donde $a_1$, $a_2$, ..., $a_6$ son constantes. De esta forma, el orden del sistema se reduciría a 12. Del mismo modo se puede considerar el momento angular, puesto que no hay ningún torque externo, lo que nos daría las se puede expresar con las siguientes ecuaciones:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} q_1 p_2 - q_2 p_1 + q_4 p_5 - q_5... ... - q_4 p_6 + q_9 p_7 - q_7 p_9 & = & a_9 \end{array}\right. %}$$ (8)

donde $a_7$, $a_8$, $a_9$ son constantes. Con estas integrales se reduciría el sistema a orden 9.

Luego, considerando que se tienen las posiciones respecto de un sistema de coordenadas fijos, el ángulo azimutal de uno de los cuerpos y la posición respecto al plano fijo pueden ser coordenadas ignorables, lo cual reduce el sistema a orden 8.

Si se considera ahora que la energiia total se conserva, pues el hamiltoniano planteado es independiente del tiempo, se puede reducir con esa integral de la energía y eliminando el tiempo, se puede reducir a orden 6 el sistema planteado.