Formalismo del problema de Sitnikov

Como se había mencionado en la introducción (sec. 2.1), el problema de Sitnikov es una reducción del caso general. Para hacer más sencillo el cálculo numérico se considerarán unidades tales que $\mathrm{G}=1$, y $m=1$. Considerando que las masas de los cuerpos dominantes sean $m_1=m_2=m/2$, tienen un movimiento elíptico en torno a su centro de masa, con excentricidad $e$, y período $2\pi$. Entonces el movimiento de un tercer cuerpo situado en el eje perpendicular al plano de movimiento de las dos masas (plano $xy$) y que pase por el centro masa (por el origen), estará restringido sólo a ese eje (el eje $z$).

Si ponemos $r(t)$ como la distancia de las dominantes al centro de masa, y con las consideraciones anteriores, podemos definir el hamiltoniano que describe a la masa en el eje $z$ en términos de unidades de masa de la siguiente forma:

$$H\left(z,v,t\right)=\frac{v^2}{2}-\frac{1}{\sqrt{z^2+r^2(t)}}$$ (9)

Del resultado de los dos cuerpos, se tiene que (considerando las unidades escogidas):

$$2r(\varphi)=\frac{1-e^2}{1+e\cos \varphi}=1-e\cos \varphi+\mathrm{O}\left(e^2\right)$$ (10)

Y el ángulo polar $\varphi$ se puede poner en función del tiempo $t$, va la integral

$$t=\int_0^t\frac{4r^2(\varphi')}{\sqrt{1-e^2}}\mathrm{d}\varphi'$$ (11)

Entonces con las ecuaciones (10) y (11) y descartando términos de orden $e^2$ y mayores, obtenemos:

$$r(t)=\frac{1}{2}\left(1-e\cos \varphi\right)+\mathrm{O}\left(e^2\right)$$ (12)

as, el hamiltoniano (9) podrá escribirse a primer orden en $e$, como:

$$H\left(z,v,t\right)=\frac{v^2}{2}-\frac{1}{\sqrt{z^2+1/4}}-e\frac{\cos t}{4\left(z^2+1/4\right)^{3/2}}$$ (13)

Como se puede ver, este hamiltoniano depende del tiempo y tiene perodo $2\pi$.

Las ecuaciones de movimiento para este hamiltoniano son:

$$\dot{z} = v$$ (14)

$$\dot{v} = -\frac{8z}{\left(4z^2+1\right)^{3/2}}-e\frac{24z}{\left(4z^2+1\right)^{5/2}}\cos t$$ (15)

Para $e=0$ el sistema se vuelve independiente del tiempo y por lo tanto es integrable, pero para $e>0$ la dependencia explcita del tiempo hace que no rompa la simetra temporal y no habrán cantidades integrables convirtiendo al problema en no integrable.